ｔ分布自体は，自由度n-1の場合，
\(\Large \displaystyle f(t) = \frac{ \Gamma (\frac{n}{2}) }{ \sqrt{(n-1) \pi} \ \Gamma ( \frac{n-1}{2})} \left( 1 + \frac{t^2}{n-1} \right)^{- \frac{n}{2}}\)
となりますが，
この導出は．．．．．ここ，ここ，ここ，ここ，などにありましたので，参考にさせていただきました．
・確率密度
標準正規分布の確率密度は，
\(\Large \displaystyle f(z) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} exp \left[ - \frac{z^2}{2} \right] \)
自由度mのカイ二乗分布の確率密度関数は，
\(\Large \displaystyle f(u) = \frac{1}{ 2^{ \frac{m}{2}} \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \ u^{ \frac{m}{2}-1} \ exp \left[ - \frac{u}{2} \right]\)
となりますが，それぞれ独立なので，同時確率分布は積となります．
\(\Large \displaystyle f(z,u) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} exp \left[ - \frac{z^2}{2} \right] \cdot
\frac{1}{ 2^{ \frac{m}{2}} \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \ u^{ \frac{m}{2}-1} \ exp \left[ - \frac{u}{2} \right]\)
\(\Large \displaystyle f(z,u) = \frac{1}{ \sqrt{ \pi}} \frac{1}{ \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \frac{1}{2^{ \frac{m+1}{2}}}\ u^{ \frac{m}{2}-1} \ exp \left[ - \frac{z^2 + u}{2} \right]\)
とまとめることができます．ここで，変数変換を行います．
\(\Large \displaystyle t = \frac{z}{ \sqrt{ \mathstrut \frac{ u}{m}}}\rightarrow \frac{dz}{dt} = \sqrt {\mathstrut \frac{u}{m}}\)
\(\Large \displaystyle u = u \)
とします．ここでなぜ，u=u，にしなくてはならないか，という数学的根拠は．．．．わかりません．（一つの変数変換で行っているサイトもあるようです．）
このヤコビアンは，（ヤコビアンの計算は，ここ）
\(\Large \displaystyle dz \ du = det \begin{vmatrix} \frac{\partial z}{ \partial t} & \frac{\partial z}{ \partial u} \\ \frac{\partial u}{ \partial t} & \frac{\partial u}{ \partial u} \end{vmatrix} dt \ du\)
\(\Large \displaystyle = det \begin{vmatrix} \sqrt{ \mathstrut \frac{u}{m}} & \frac{t}{ 2 \sqrt{um}} \\ 0 & 1 \end{vmatrix} dt \ du\)
\(\Large \displaystyle = \sqrt{ \frac{u}{m}} dt \ du\)
となるようです．．．．ここで，
\(\Large \displaystyle \frac{\partial z}{ \partial t} = \sqrt{ \mathstrut \frac{u}{m}} , \ \frac{\partial z}{ \partial u} = \frac{t}{ 2 \sqrt{um}}, \ \frac{\partial u}{ \partial u} = 1 \)
はわかるのですが，
\(\Large \displaystyle \frac{\partial u}{ \partial t} = 0 \)
がまだ私にはわかりません．．．．uはｔの関数のはずなのに．．．．
とりあえず，変数変換が完了したとして，上記の式は，
\(\Large \displaystyle f(t,u) =
\frac{1}{ \sqrt{ \pi}} \frac{1}{ \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \frac{1}{2^{ \frac{m+1}{2}}}\ u^{ \frac{m}{2}-1} \ exp \left[ - \frac{\left( \sqrt {\frac{u}{m} t} \right)^2 + u}{2} \right]
\sqrt {\frac{u}{m} } \)
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{ \sqrt{ \pi m}} \frac{1}{ \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \frac{1}{2^{ \frac{m+1}{2}}}\ u^{ \frac{m}{2}-1 + \frac{1}{2}} \ exp \left[ - \frac{u}{2} \left( \frac{t^2}{m} +1 \right) \right] \)
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{ \sqrt{ \pi m}} \frac{1}{ \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \frac{1}{2^{ \frac{m+1}{2}}}\ u^{ \frac{m+1}{2}-1 } \ exp \left[ - \frac{u}{2} \left( \frac{t^2}{m} +1 \right) \right] \)
次に，ｔだけの関数にしたいので，uに関して積分すると，
\(\Large \displaystyle f(t) = \frac{1}{ \sqrt{ \pi m}} \frac{1}{ \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \frac{1}{2^{ \frac{m+1}{2}}}\ \int_0^{ \infty} u^{ \frac{m+1}{2}-1 } \ exp \left[ - \frac{u}{2} \left( \frac{t^2}{m} +1 \right) \right] du \)
積分項を考えます．
\(\Large \displaystyle I(t) = \int_0^{ \infty} u^{ \frac{m+1}{2}-1 } \ exp \left[ - \frac{u}{2} \left( \frac{t^2}{m} +1 \right) \right] du \)
ここで，
\(\Large \displaystyle s = \frac{\frac{t^2}{m} +1}{2} u \)
とすると，
\(\Large \displaystyle ds = \frac{\frac{t^2}{m} +1}{2} du \)
\(\Large \displaystyle I(t) = \int_0^{ \infty} \left(\frac{2}{\frac{t^2}{m} +1} \right)^{ \frac{m+1}{2}-1 } s^{ \frac{m+1}{2}-1 }\ exp \left[ - s \right] \frac{2}{\frac{t^2}{m} +1}ds \)
\(\Large \displaystyle I(t) = \int_0^{ \infty} exp \left[ - s \right] \left(\frac{2}{\frac{t^2}{m} +1} \right)^{ \frac{m+1}{2} } s^{ \frac{m+1}{2}-1 } ds \)
\(\Large \displaystyle I(t) = 2^{ \frac{m+1}{2}} \left(\frac{1}{\frac{t^2}{m} +1} \right)^{ \frac{m+1}{2} }\int_0^{ \infty} exp \left[ - s \right] s^{ \frac{m+1}{2}-1 } ds \)
この積分項は，ガンマ関数，
\(\Large \displaystyle \Gamma (z) = \int_0^{ \infty} t^{z-1} \cdot e^{-t} dt\)
\(\Large \displaystyle \Gamma (z+1) = \int_0^{ \infty} t^{z} \cdot e^{-t} dt\)
から，
\(\Large \displaystyle \int_0^{ \infty} exp \left[ - s \right] s^{ \frac{m+1}{2}-1 } ds = \Gamma \left( \frac{m+1}{2} \right) \)
となるので，まとめると，自由度ｍのｔ分布は，
\(\Large \displaystyle f(t) = \frac{1}{ \sqrt{ \pi m}} \frac{1}{ \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \frac{1}{2^{ \frac{m+1}{2}}}\ 2^{ \frac{m+1}{2}} \left(\frac{1}{\frac{t^2}{m} +1} \right)^{ \frac{m+1}{2} } \Gamma \left( \frac{m+1}{2} \right)\)
\(\Large \displaystyle = \frac{\Gamma \left( \frac{m+1}{2} \right)}{ \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \frac{1}{ \sqrt{ \pi m}} \left(\frac{1}{\frac{t^2}{m} +1} \right)^{ \frac{m+1}{2} } \)
\(\Large \displaystyle = \frac{\Gamma \left( \frac{m+1}{2} \right)}{ \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \frac{1}{ \sqrt{ \pi m}} \left(1 + \frac{t^2}{m} \right)^{ -\frac{m+1}{2} } \)
となります，したがって，ｔ分布自体は，自由度n-1の場合，
\(\Large \displaystyle f(t) = \frac{ \Gamma (\frac{n}{2}) }{ \sqrt{(n-1) \pi} \ \Gamma ( \frac{n-1}{2})} \left( 1 + \frac{t^2}{n-1} \right)^{- \frac{n}{2}}\)
と一致します．